Terence Tao：数学、物理学与 AI 未来的最难问题 | Lex Fridman Podcast #472
摘要
Lean 可能成为信任层，把不可靠的 AI 变成可规模化的数学基础设施。 目前，形式化一个证明大约需要 Tao 手写证明的 10 倍时间，但证明证书可以实现“无需信任的数学”、原子化协作和安全重构：把一个定理的常数从 12 改成 11，数千行代码中约 90% 仍然保持不变，同时只暴露真正断裂的依赖关系。他判断，范式转换的阈值在低于 1×之后：论文先做形式化、审稿提速，以及可能呈指数增长的 mathlib，最终会成为默认工作流。
短期 AI 的价值在于工作流杠杆，而不是自主发现。 AlphaProof 达到 IMO 银牌级别的表现确实亮眼，但它依赖人工形式化，而且解决一道高中题用了大约 3天的 Google 服务器时间；随着证明长度增加，搜索效率仍会呈指数级恶化。当前工具或许能提供数学能力中的“30%、40%”：编程、计算、搜索、自动补全，但还缺少人类的“嗅觉”，无法识别出一个外表漂亮的论证其实建立在愚蠢的错误之上。
形式验证已经让研究可以在传统出版体系无法承载的规模上运转。 Tao 的 Equational Theories Project 围绕大约 4,000条代数定律生成了约 2,200万道蕴含问题；约 50名参与者解决了除 2道之外的全部问题，剩下的问题中有 1道已经有纸笔证明，正在形式化。正在形成的模式类似现代供应链：一张蓝图把一个定理拆成可独立验证的节点，研究由此向分布式专家、学生、程序员乃至最终的 AI agent 开放。
Navier–Stokes 本质上是尾部风险问题：普通水表现良好，但数学必须排除每一种人为设计的灾难。 Tao 的平均化方程通过有选择地关闭相互作用通道，展示了有限时间内的能量级联，证明仅凭能量守恒和黏性无法建立正则性。他更具推测性的路径，是一种自我复制的“water-punk”计算机，把能量转移给尺寸不断缩小的复制体——它尚未被物理构造出来、容易出错，但并未明显违反方程。
这一期节目最值得投资者借鉴的建模经验是：当相关性变成系统性因素时，漂亮的平均值会失效。 普适性可以把约 (10^{23})个气体分子压缩成少数几个变量；当大量输入足够独立时，高斯定律有效，但 2008年展示了抵押贷款违约同步发生时会怎样。Tao 的检验标准很直接：用 10个参数解释 10个观察值的模型毫无用处，而用一个紧凑理论解释 PB 级观察数据的模型才值得信任——但仅限于其明确列出的假设成立时。
著名的数论问题与现有工具之间，距离各不相同。 有界间隔方法已经证明存在无穷多对相差至多 246的素数，但孪生素数要求跨越 50%的“奇偶性障碍”；Tao 预计 10年内会有显著更近的部分结果，但未必能完成证明。他认为黎曼猜想需要某种“出人意料的东西”，Collatz 可能被 1个精心构造的例外击穿，尽管已有 99%类型的结果；至于 P versus NP，证据略偏向不等式成立，同时又积累了异常多的不可行性定理。
人类的优势仍在于选题、概念压缩，以及不同风格之间的高效协作。 Tao 把自己定义为会在不同领域之间借用工具的狐狸，而刺猬则是在一个领域内深耕到底；最好的团队会把两者结合起来。他给出的长期职业建议也遵循同一逻辑：学习可迁移的抽象能力和解决问题的方法，即使没有标准方法也要试一试，并把失败当作信息——因为未来的工具会比自动化判断更快地自动化例行工作。
精读
1. Kakeya 剩下的 10%让一个玩具问题变得重要
Tao 区分了那些声名显赫却遥不可及的问题，以及处在技术边界上的问题：已有方法能完成“90%的工作”，剩下 10%需要创新。他在读博士时被 Kakeya 吸引，这个问题后来成为早期研究的重要组成部分；用他的话说，它“刚刚被解决”。
Sōichi Kakeya 在约 1918年提出的问题是：一根理想化的针要掉头，所需的平面面积最小是多少？绕中心旋转扫过的面积是 (\pi/4)，三点转向只需 (\pi/8)；Besicovitch 的反直觉构造则表明，通过足够复杂的来回移动，所需面积可以任意小。
在三维空间里，Tao 想象一台没有厚度的 Hubble Space Telescope，指向每一颗恒星。真正的问题是给定望远镜厚度 (\delta)，当 (\delta)趋近于零时，其最小扫过体积如何缩小；猜想认为，它只会非常缓慢地下降，大致呈对数速度。
2. 几何管道堆积决定波能否集中
Kakeya 之所以重要，是因为局部化的波包会沿着时空中的管道传播。一列分散的波可以先在一点聚焦、再散开，就像把一颗石子激起的扩散水波倒放，重新形成汇聚波并最终撞出水花；底层波动方程允许这种时间反演。
如果方向各异的管道能比猜想高效得多地堆积，波就可能在整个时空中维持大量集中，而不是只在一个孤立点聚焦。此时振幅可能进入线性波动定律失效的区间，非线性效应产生奇点或“爆破”。
Tao 强调，这并不意味着 Kakeya 直接解决了 Navier–Stokes。它强化了人们对管道几何和波集中机制的理解，而这“间接地可能会帮助我们理解”更困难的非线性方程如何形成奇点。
3. Navier–Stokes 要求数学排除它的 Maxwell’s demon
Clay 问题关注不可压缩 Navier–Stokes：一个光滑的初始速度场，能否在有限时间内发展出无穷速度或其他奇点？7个千禧年大奖问题中目前只有 Poincaré conjecture 已被解决，因此这仍然是字面意义上的“百万美元问题”。
Lex 强调，流体并非只有抽象意义。Tao 区分了描述水的不可压缩方程与描述空气的可压缩方程，并指出天气预报结合了大规模数据采集系统，以及对流体方程反复进行近似求解。
数学家不能接受水只要 99.99%的时间表现安全。Tao 借用 Maxwell’s demon：分子碰撞几乎必然会混合气体，但一个极其协调的序列仍可能把它们分开；同样，(\pi)的数字看起来没有偏差，但现有方法无法排除某种隐藏的“阴谋”，让某一个数字占优。
真实的水之所以令人安心，是因为黏性会耗散分散的能量；但 Tao 说，近期观点已经“逐渐转向”相信，经过精心准备的构型可能形成奇点。这个判断仍未被证明，而普通浴缸中的水对人为设计的例外情形说明不了什么。
4. 有限时间级联必须跑赢黏性，同时不让能量散掉
危险情形是不断把大部分能量转移给更小、更快的涡。如果每一阶段所需时间约为上一阶段的一半，无穷次收缩就能塞进有限时间，在自相似爆破中把能量集中到一个点上。
正常湍流会破坏这条路径：一个大涡分裂成大约 3或4个小涡，小涡继续分裂，能量逐渐散开，直到黏性占上风。要发生爆破，能量必须异常地保持相干，同时级联速度超过耗散反应的速度。
早期的正则性论证试图把能量守恒和黏性结合起来，但所谓证明一次次藏着符号错误或细微漏洞。Tao 的回应是做诊断：构造一个仍然守恒能量、却明确发生爆破的邻近方程，从而揭示哪些宽泛的证明策略注定不够。
在他的平均化三维 Navier–Stokes 模型中，Tao 有选择地关闭把能量送入无关涡流的相互作用，只保留推动能量向更小尺度下沉的通道。“我基本上是通过改变物理定律来人为制造爆破”，由此形成一个障碍：任何真正的正则性证明，都必须利用他修改时删掉的结构。
5. 超临界性解释了为什么细尺度会击穿总量模型
Navier–Stokes 是线性黏性与非线性输运之间的拉锯：前者平滑运动，后者搬运能量。在超临界方程中，输运在更小尺度上相对变强，恰恰是在黏性需要重新取得控制的地方。
在二维中，Ladyzhenskaya 在 1960年代证明不会发生爆破。Tao 将二维方程描述为临界方程——竞争效应在各个尺度上保持相当强度；而三维 Navier–Stokes 是超临界的，因此超出了最强正则性技术的能力范围。
后续研究已经在其他超临界方程中制造出大量爆破。Tao 把临界、次临界、超临界的分类视为一条定性分界线：有些系统仍可控，另一些则可能发生“各种各样的坏事”。
行星运动允许聚合建模：月球或火星通常可以近似成一个点质量。天气却不能用一个洛杉矶的温度和风速概括，因为细尺度信息至关重要；Tao 将这种超临界敏感性与天气预报大约 2周后失效联系起来。
6. 爆破可能需要一台自我复制的液体计算机
Tao 说，在 5维或更高维中，只要尽可能快地把能量推向小尺度就能奏效，但在 3维中不行。能量同时占据许多尺度，过度分散后会给黏性足够的杠杆来压制级联。
他的平均化模型改用“气闸”：能量进入一个尺度，等待前一个储能池排空，再打开下一道闸门。受电气工程师妻子的启发，Tao 把电容器、电阻器、时钟和闸门的数学对应物组装成一台“Rube Goldberg 式机器”。
更具推测性的延伸，是一台液压 Turing machine：水的构型充当比特，碰撞实现逻辑门。一个 von Neumann 式液体机器人会制造一个更小、处于休眠状态的复制体，把全部能量转移给它，自己关机，再让尺度对称性以越来越快、越来越小的方式重复这一过程，直至爆破。
Tao 称这只是“白日梦”。他还无法构造流体逻辑门，涡环也只是候选方案；模拟误差需要纠正，更大的机器也可能无法干净地关机。这个设想的意义仅在于，它“并不与任何物理定律矛盾”。
7. Conway’s Game of Life 展示了简单规则为何能生成复杂系统
Conway’s Game of Life 给了 Tao 一个关于计算涌现的先例。几条局部规则可以生成滑翔机、滑翔机炮、实现 AND 和 OR 门的流，以及 Turing machine 和庞大的自我复制结构，整个过程看起来像“蒸汽朋克式计算”。
其中许多构造由业余数学家众包完成。一旦基本逻辑门被造出来，普通软件工程中的组合方式就能搭建高度复杂的机器，这启发 Tao 思考：连续流体方程中是否也藏着类似组件。
Lex 关于涌现的框架需要一个重要限定：随机初始细胞通常不会生成滑翔机炮或自我复制体。复杂性会在精心设计的条件下出现，正如 Navier–Stokes 奇点——如果可能存在——也许需要异常设计的初始流体状态。
8. 结构—随机性把局部模式变成可用的二分法
Tao 的逆定理追问，一个对象为何会呈现某种模式。把 (n)映射到 (n\sqrt2)的整数部分，这个函数几乎满足可加性：取整可能让一个和差 1，但一个相邻的完全结构化函数可以解释这条近似规律。
更广泛的二分法认为，一个对象要么足够随机，要么与某个结构化对象有关；无论得到哪种结论，都能提供杠杆。真正困难的是证明某个具体对象——比如 (\pi)的数字——没有藏着奇特模式，尽管几乎所有随机序列都表现正常。
Szemerédi 定理指出，每一个正密度整数集合都包含任意给定有限长度的等差数列。奇数这样的结构化集合会透明地包含它们；随机子集则通过波动包含它们，为同一不可避免模式提供了不同机制。
Tao 用“无穷可以吸收很多罪过”调侃 infinite-monkey theorem。有限化则恢复直觉：需要多少只猴子、花多长时间？生成一段指定文本所需时间随文本长度呈指数增长，这解释了随机打字可能打出一个 4字母单词，却不可能打出 Hamlet。
9. 数学研究模型，科学则与现实讨价还价
Tao 将世界分成 3层：现实、不完美的观测，以及心智或数学模型。科学收集观察并提出模型；数学从模型的公理出发，追问其内部会导出什么后果和预测。
大多数学科以结论为导向——造桥、预报天气、赚钱——而数学也探索“假设我做了这个，会发生什么”。自上而下的理论和自下而上的实验都不够：一方出现异常，会告诉另一方应该去哪里寻找。
数学本身历史上约有“99%”是理论性的，但实验传统由来已久。Gauss 使用了大量素数表，其中部分由负责算术的人类计算员制作，借此在证明出现之前猜测素数定理。
计算仍然会遭遇组合爆炸：1,000个元素有 (2^{1000})个子集，国际象棋的位置数也多到无法穷举。但棋类引擎会选择性搜索，甚至推翻传统开局常识；Tao 希望 AI 同样扩大实验数学的边界，即使不能立即给出形式化解释。
10. 好理论会把数据压缩到相关性击穿编码器
Tao 把物理理论描述为数据压缩。用 10个参数解释 10个观察值，是过拟合且毫无用处；一个约 14个参数的模型解释 PB 级天文数据，则很有力量，因为短规格描述可以复现远超其自身信息量的数据。
普适性让这种压缩成为可能。一个包含约 (10^{23})个粒子的气体，通常可以用温度、压力、体积以及大约 5或6个参数建模，因为宏观定律会遗忘几乎全部微观细节。
中心极限定理解释了为什么在大量足够独立的输入被平均后，高斯钟形曲线会反复出现。但普适性是有条件的：系统性相关性可能生成与钟形曲线完全不同的分布。
Tao 把 2008年作为警示样本。抵押贷款违约模型把大规模人群视为足够不相关，以便进行高斯风险管理；但系统性冲击让大量借款人同时走向违约。漂亮的数学救不了一个独立性假设已经失效的模型。
11. 狐狸通过把工具带过数学的隔离带来价值
数学一次次通过连接原本分离的学科而前进。Descartes 用坐标把几何与数字连接起来；后来不同领域又把代数与几何融合，如今显而易见的 (x,y)表示法，曾经也是一次概念统一。
用狐狸与刺猬的区分，Tao 认为自己主要是狐狸，而不是刺猬。他喜欢数学上的“套利”：学习一个领域的技巧，把它们带到看似无关的领域，为那些领域的深度专家提供他们自然不会想到的工具。
他探索的方法是用熟悉的工具重新证明一个有吸引力的定理，即使替代证明更糟糕。这能揭示原证明究竟做了什么；刺猬则贡献更完整的历史、更精确的计算，以及对某种技术边界的准确把握，让混合型协作更强。
12. 证明是精心制作的对象，不是可丢弃的凭证
在 Princeton，John Conway 关于“极端证明”的演讲改变了 Tao 对数学工作的看法。Conway 想象所有证明组成一个空间，坐标轴包括长度、优雅和初等性，然后寻找边界点：最短、最简单或最不寻常的证明。
本科作业接受任何正确论证，但有影响力的数学还必须有动机、可读、可适配，并且“读起来令人愉悦”。Tao 把技术上有效但无法使用的证明比作 spaghetti code：能完成一项任务，却容易埋 bug，也难以扩展。
Lex 的 code-golf 类比保留了 Conway 更深层的观点：为某个刻意设定的极端目标优化，看起来可能很无聊，但对证明、记号或编程语言进行压力测试，会暴露出普通解题不会发现的思想。
对 Tao 来说，Euler 的 (e^{i\pi}=-1)之所以美，是因为它连接了不同机制，而不只是因为符号出名。指数运算模拟增长和收缩；给指数乘以 (i)会把运动变成直角方向的变化，因此演化时间 (\pi)会产生半周旋转。
13. 正确的组织对象可以统一看似不兼容的物理学
访谈后半段的物理讨论认为，记号上的碰撞可能说明概念选得恰到好处。早期力学直接围绕可测量的质量、加速度和力展开，用 (F=ma)描述；能量和动量则后来作为守恒量出现，并逐渐获得更基础的地位。
Hamiltonian mechanics 把能量提升为支配经典系统完整动力学的对象。Quantum mechanics 看起来完全不同——描述的是波，而不是经典粒子——但它的 Hamiltonian operator 同样通过 Schrödinger equation 决定演化，使两种理论之间能够转移直觉。
Noether’s theorem 表达了共同结构：空间平移对称性带来动量守恒，旋转对称性带来角动量守恒，时间平移对称性带来能量守恒。在经典和量子体系中，Hamiltonian 的对称性都会生成守恒定律。
Tao 认为 quantum mechanics 与 general relativity 最终应当统一，就像 electricity 与 magnetism 曾经统一一样。障碍在概念层面：笛卡尔式时空坐标很可能无法在量子涨落中保留，而物理学还没有找到组织这套合并理论的替代性“analog Hamiltonian”。
14. 物理学越成功，统一理论越缺少异常现象
在 Tao 的粗略表述中，general relativity 与 quantum mechanics 合计覆盖了“99.9%”的可观测现象。能够区分统一理论的证据，只会出现在极端加速器能量、早期宇宙或其他难以观测的环境里。
他的信心来自历史，而不是某个具体机制：Newton 统一了地面与天体运动，Maxwell 统一了 electricity 与 magnetism，Einstein 则发现 Riemannian geometry 早已为弯曲时空提供了数学工具。
Tao 说，string theory 数十年来一直是领先候选，但因为尚未与实验匹配，正在“慢慢失去时尚地位”。这个判断仍然是暂时性的；他更大的观点是，漂亮模型最终必须重新接入观测层。
类比让有限的人类直觉能够越过熟悉尺度。篮球、高尔夫球和光源可以重现日食和月相；重建古希腊人如何估算天文距离，则提供了一次从看似平坦的局部经验，通往在空间中运动的圆形地球的“智识旅行”。
15. Tao 改变观察者坐标后，wave maps 让步了
Tao 对 wave maps 或 sigma model 的研究，关注的是存在于时空上的场，而不是引力本身。他把箭头想象成被限制在球面上，并像田野里的麦浪一样传播，然后追问能量是否会集中成奇点。
这个方程是临界的，各个尺度上的行为大致相当。约 2000年，Tao “勉强”证明了全局正则性：能量必然会发生一点扩散；一旦扩散开始，解就不可能集中到足以爆破的程度。
一个由曲率驱动的非线性项一开始看起来比稳定性的线性行为更强。Tao 设计了一种类似微型摄像机的规范变换，让观察者跟随大部分流动一起移动，使画面显得更静止，并暴露出一个更线性的方程。
他的发现过程是物理性的：因为无法有效计算或操纵这些场，他躺在澳大利亚姨妈家的地板上，闭上眼睛，想象自己就是那个向量场，在地上翻滚，寻找更好的坐标。姨妈打断他时，他唯一能给出的实际回答是：“很复杂。”
16. 战略性作弊先隔离一个困难，再把 10个困难重新组合
Tao 的核心解题方法是“战略性作弊”。如果 10个特征让问题变难，他就安装 9个概念上的作弊码——把维度设为 1、删掉一个误差项、施加球形奶牛假设——先单独解决剩下的困难。
分别处理每个障碍后，他再逐个打开它们，观察机制如何相互作用。这与“Iron Man mode”不同，后者直接攻击最困难的完整表述，却不先识别到底是哪一个特征造成了哪一种失败。
他用香港动作片作类比：英雄能打败 100个攻击者，是因为影片编排让他们一个个上。如果反派聪明地一拥而上，英雄就会输；但把障碍依次排列，既让电影成立，也让数学学习成为可能。
Tao 现在仍主要使用笔、纸、4块大黑板、图画和私人涂鸦。但 AI 已经把一个中等复杂的绘图任务，从回忆和调试 Python 可能需要的约 2小时，压缩到“10、15分钟”，因此计算机正越来越多地支撑他的探索阶段。
17. Lean 以便利性换取机器可检查的确定性
Lean 类似普通编程语言，但可以在输出答案的同时生成证明证书。每条命令都组合此前已经认证的陈述，由一个刻意保持很小的内核检查结果；Lean 还有多个编译器可用。
编写 Lean 就像向一位“极度迂腐的同事”解释证明。每个对象都需要类型，隐含的边界情形必须显式写出；纸面上看似显然的陈述，可能会被追问变量究竟是实数、自然数、函数，还是可能为零。
大多数类型推断用的是“老派的 AI”与树匹配，而不是大型语言模型。LLM 位于 Lean 之上，用来搜索 mathlib 的数万条结果或建议 tactics，但底层的确定性验证不会因此受损。
Tao 对 Copilot 的估计刻意不浪漫：建议完全正确的概率或许只有 25%，另有 10%—15%接近正确、可以修复，而“大约一半”是“完全是垃圾”。总体而言，他估计形式化仍需要非形式化证明约 10倍的投入。
18. 形式化代码让数学重构安全得多
Tao 给出的最佳例子，是一个最终常数为 12的定理。后来工作把 12改进为 11，修改标题数字后，数千行代码中约 90%仍能编译，只有真正需要修复的依赖关系被标出来。
在纸面证明中，每一行都可能暗中依赖 12的特殊性质，因此必须费力重读。Lean 中结构良好的抽象会把损害局部化，修复后的形式化证明在 1、2天内就可以完成。
形式化证明更长，但局部检查更容易。把鼠标悬停在一个对象上，就能看到它的类型、来源和依赖关系；而翻到传统论文第 27页，可能还要重新构建散落在前 10页中的定义。
这种局部上下文带来了“无需信任的数学”。Tao 可以把 3行报错代码发给一个从未见过的远方合作者，接受一个自己无法评估其声誉的人提供的修正，同时仍然获得一份证明结果有效的证书。
19. 协作先是即兴演奏，后来才变成供应链
困难研究不可能一开始就干净地分工，因为没人知道哪条路线可行。Tao 描述了最初的“jam session”：合作者给自己无限预算，移除最棘手的情形，先找出一个日后可以现实化的骨架。
在 Green–Tao theorem 中，Ben Green 掌握了 3项等差数列的数论控制，Tao 则拥有受遍历理论影响、处理更长模式的工具。Tao 提出一个 Green 无法证明的随机性假设，Green 给出一个 Tao 无法使用的较弱假设，反复迭代后才找到满足双方约束的性质。
一旦人类证明存在，形式化蓝图就可以把它拆成一个带有显式依赖关系的自包含 lemma 图。参与者无需理解整个定理，就像 iPhone 供应链中的专业人员只需把收到的小组件加工成更大的部件。
传统实验数学经常由非专业程序员编写一次性 Python；一个有 bug 的模块会污染整个计算，并阻碍协作。Lean 的兼容性与验证能力，让实验可以从数据集扩展到证明本身。
20. 2,200万道代数题检验了工业化证明
Tao 的 Equational Theories Project 围绕一个二元运算生成约 4,000条候选定律，并检查约 2,200万道蕴含问题：一个恒等式是否迫使另一个恒等式成立？如果是，需要形式化推导；如果不是，需要构造一个反例运算。
大多数问题适合本科代数学生，约 100道真正困难。在访谈时，除 2道之外的全部问题都已经解决；剩下的问题中有 1道已有纸笔证明，正在形式化。
约 50人参与其中——按数学标准，这是一个庞大的作者名单。Lean 让这种规模变得可信，因为没人需要逐一检查 2,200万份论证，每个被接受的片段都能由同一个内核验证。
GitHub 会自动记录活动，但 Tao 不信任粗糙的排行榜：一旦指标变成激励，Goodhart’s law 就意味着指标会被操纵。项目改用自报贡献类别，同时把所有人列为作者，并提供矩阵说明每个人在编码、验证、资源、概念等方面的工作。
21. 众包在署名全部归于一个名人时会失败
早期 Polymath 项目需要人工主持人验证每项贡献，由此形成瓶颈，而形式化证明可以移除这一环节。它们的论文有时以集体化名 D. H. J. Polymath 发表，沿用了 Bourbaki 的传统。
化名保护了平等，却伤害了无法把工作计入终身教职评价的年轻贡献者，因为他们没有正式署名。公共叙事还会把集体压缩成“Tim Gowers 的项目”或“Terence Tao 的项目”，抹去那些不那么知名的参与者。
新实验保留按字母顺序排列的数学作者署名，同时记录具体角色。Tao 重视数学界平等署名的传统，但也承认，当协作扩大到几十人、甚至可能上千人时，没有贡献元数据的平等无法继续扩展。
22. AlphaProof 的奖牌既暴露能力，也暴露残酷的扩展成本
长证明会放大微小错误率：如果 20个步骤中的每一步都有 10%的概率走错方向，最终走到终点的概率就会很低。随着复杂度上升，系统必须探索并排除的分支会以组合方式增长。
翻译本身仍未解决。自然语言容忍语法缺口和隐含上下文，但一个格式错误的符号就可能让形式化陈述失效；即使在 Lean、Coq、Isabelle 等形式语言之间转换，也依然困难。
DeepMind 的 AlphaProof 达到了 IMO 银牌级别的分数，但人类首先帮助它完成题目形式化，系统也超出了人类的时间限制；Tao 提到，解决一道高中题用了大约 3天的 Google 服务器时间。按当前实现方式，这“不是一个可扩展的前景”，无法直接用于研究生层面的研究。
数值答案竞赛更容易，因为强化学习能立即得到对错信号。Tao 支持未来举办 AI Mathematical Olympiad：系统与人类使用相同题目和时间，并向同一批评委提交自然语言解答；但他说，AI 的表现还没准备好参加下一届 IMO。
23. 数学嗅觉比流畅的证明文本更重要
薄弱的人类证明通常会通过初等错误和“代码异味”暴露自己。AI 生成的数学可能表面上毫无瑕疵，因为训练奖励的是与正确论述相似；真正的错误往往位置很隐蔽，但一旦找到就会显得愚蠢得令人尴尬。
人类也能感知一个改写是否真的让问题变简单。随机变换通常会制造出 2个比原问题更难的子问题；熟练数学家能嗅出什么时候 2个子问题都更简单、可信，而且值得继续。
AlphaZero 实际上学会了对棋局和围棋局面的这种评估感，尽管无法说清它是怎么做到的。Tao 认为，数学 AI 真正具备竞争力，要等到它同样能够判断证明策略是否可行，而不只是生成局部上看似合理的下一行。
如果让他选择一个 oracle，Tao 希望它能做验证、生成证明、计算和发明新表示。现在的对话更像“赶猫群”：他不断把模型赶向一个自己已经知道的证明，检查它诱人的错误，耗费的精力甚至比独自解决问题更多。
24. 形式化成本跌破 1×后，出版体系将被重排
工具已经把 Tao 估计的形式化开销从 10倍推向 9倍、8倍或 7倍。这些增量看似有限，但“总有一天会跌破 1”，届时先形式化定理、再把它写成 prose 才是理性做法。
期刊届时可以加速审稿：审稿人负责评估重要性、原创性、表达和文献，证明检查器负责认证正确性。随着数学论文变长、合格审稿人越来越难找，这一点很重要。
Tao 把这一转变与 LaTeX 相比。数学家曾经使用文字处理器、打字机和其他工具；当 LaTeX 变得比替代方案更容易时，采用率跨过阈值，几年内就席卷了整个学科。
反馈循环可能是良性的：形式化更容易，mathlib 就会增长；库越大，后续形式化越容易；AI 能获得更可靠的训练与搜索材料；越来越多的证明则会变成可组合的基础设施。
25. AI 可能很快加入研究，但发现能力缺少负面训练数据
Tao 曾公开预测，到 2026年，研究级协作会包含 AI 的参与。他说，某些版本已经出现：一个结果可能依赖 AI 提出的计算或候选步骤，即使作者署名无法清晰分割。
当前系统可以复现数学工作中“并非微不足道的比例”，大约 30%—40%的技能。它们降低了 Python、例行计算和验证的摩擦，却不能独立提供完整的品味、策略、检查和表达链条。
文献综述是近期机会，但当前信噪比很差：6篇推荐论文里可能有 1篇相关来源、1篇真实但不相关的来源，以及 4篇幻觉。它在数学家已经半记得相关文献、能够识别有效结果时最有用。
缺失的数据集是数学的“负空间”。论文记录成功的猜想和打磨后的证明，却不记录有希望但错误的尝试、尴尬的失误和导师的纠正；Tao 开玩笑说，AI 可能需要去读研究生、交作业、去 office hours，并从失败中学习。
26. Perelman 让 Ricci flow 达到足以分类失败的临界状态
Poincaré conjecture 问的是：每一个有界、单连通的三维空间，是否在拓扑上都是三维球面？在普通球面上，每条环都能收缩到一个点；在环面上，绕孔洞的一圈无法收缩。
Richard Hamilton 的 Ricci flow 会像给皱缩的气球充气一样平滑曲率。在二维中，流会把单连通曲面变圆；但在三维中可能形成奇点——颈部夹断、打结式集中或其他需要分类和手术修复的失败。
三维问题表现为超临界：曲率可以集中到越来越细的尺度。Perelman 引入 reduced volume 与 entropy，这些类似能量的新尺度不变量，把核心分析转化为临界问题，使非线性变得不那么具有威胁性。
随后他分类了可能出现的奇点，并展示如何通过手术继续推进流，完成一连串“极其雄心勃勃的步骤”。Tao 把这种判断力与当前 LLM 对比：模型可能在 100个建议中列出正确想法，但 99个死路中的每一条都可能耗费数月才能排除。
27. 虚假的曙光有时能支撑真正证明所需的耐力
Tao 面对阻塞时的狐狸式回应，是切换问题，或暂时假设坏情形不存在。如果失败点太多，就放弃这条路线；如果一切都成立、只剩一个障碍，前向侦察就足以支持继续与它较量。
在一次合作中，团队用了 2个月，相信自己已经解决了一个困难的 PDE 问题。写作时，一位合作者发现一个展开式有 13项：笔记只控制住了 12项，而遗漏的第 13项比其他项加在一起还糟糕。
数月修补全部失败，但已经投入的智力资本把合作者推向越来越不寻常的想法。约 2年后，他们找到一条完全不同的路线，避开那个坏项并解决问题；如果没有最初那次“虚假的曙光”，他们很可能第 2个月就放弃了。
Tao 警告要提防“黑洞”：那些让研究者耗上数年、职业生涯却在所谓最终胜利周围逐渐恶化的著名问题。Perelman 7年大部分时间独自工作，结果极其耀眼，但 Tao 不建议没有非凡意志力的人进行这种情绪上的全仓集中。
28. 素数模式在结构上不可摧毁时会幸存
自然数很容易通过加法生成——从 1开始反复加 1——也容易通过乘法生成——把素数相乘。真正丰富的问题出现在加法和乘法相互作用时，例如追问一个素数加 2后是否仍是素数。
Green–Tao theorem 证明，素数包含任意有限长度的等差数列。Tao 更深层的解释是稳健性：结构化集合中出现等差数列有明确原因，随机集合中则通过波动出现，因此结构—随机性二分法无论如何都会取胜。
它们“像蟑螂”：即使删掉 99%的素数，在定理适用的密度表述下，仍然保留任意长的等差数列。孪生素数则脆弱得多；只要精心删去约 0.1%的素数，就可能摧毁所有孪生素数，同时让整体统计看起来仍然真实。
这种脆弱性意味着，孪生素数证明必须利用真实素数的某种精细性质，而经过编辑的伪素数并不具备它。素数的随机性不只是审美问题：这个猜想检验的是，数学家能否以零错误概率证明统计模型以压倒性概率预测的现象。
29. 间隔降到 246后，奇偶性障碍仍挡住孪生素数
Tao 将当前有界间隔结果表述为：存在无穷多对相差至多 246的素数。它没有指出具体是哪一个间隔反复出现：孪生素数相差 2，表亲素数相差 4，而名字没那么重要的“性感素数”相差 6。
这一机制类似鸽巢原理，只不过把素数替换成更容易理解的几乎素数。在一个精心加权的几乎素数集合中，真正素数可能获得足够高的相对密度，从而必然出现某一对有界间隔。
孪生素数要求把这个密度推到至少 50%，但筛法无法越过“奇偶性障碍”。Lex 把它与突破光速的障碍相比；一旦突破，孪生素数、Goldbach conjecture 以及多个相邻问题都可能被打开。
他的预测保持克制：10年内会有“许多更接近的结果”，但也许还不是完整猜想。当一个证明尝试从 New York 到达 Beijing，却看不出明显跨过海洋时，他的数学嗅觉会判断，这条路线太容易了，里面一定藏着错误。
30. Riemann 可能需要一次意外，而 P versus NP 正在积累不可行性结果
Riemann hypothesis 把平方根抵消形式化：素数的乘法统计应当像真正的随机数据一样，波动尽可能小。抽取更多选民可以把误差降低到样本量平方根的程度；Riemann hypothesis 要求素数具有类似、几乎最优的随机性。
现有技术留下的误差太大，而且即使修改素数、摧毁这个猜想，它们仍可能继续成立。真正的证明必须利用某种极其精细的特征，并且“从意想不到的地方冒出来”；Tao 看不到当前任何严肃候选方案，说它也许只能“偶然发生”。
如果被证伪，将震动数论并动摇密码学直觉。加密的目标是把有意义的文本变成与随机噪声无法区分的输出；如果素数中藏着重大而未被发现的模式，其他被认为随机的数论构造也需要重新检查。
Tao 称 P versus NP 是潜在外溢影响最广的问题。证据“略微”偏向 (P\ne NP)，但计算机科学也针对各种候选路径证明了异常多的障碍和不可行性定理；他甚至不排除该陈述不可判定的可能性。
31. Collatz 说明证明 99%仍可能完全没触及谜底
Collatz 过程对偶数反复除以 2，对奇数则映射到 (3n+1)。从 13出发会得到 40、20、10、5、16、8、4、2、1，之后循环 (1,4,2,1)不断重复。
典型轨迹类似布朗运动，或一张带有向下漂移的股价图——像以略微不利的赔率反复赌博。Tao 粗略地证明了，约 99%的输入最终会跌到远低于起点的位置，但不一定一路跌到 1。
概率无法排除一条不断赢下去的例外轨迹。某个数字可能编码出一台“比空气更重的飞行机器”，一种会不断增长、自我维持的计算结构，即使大多数输入都在下降。
Conway 通过他的 FRACTRAN language 证明，更丰富的 Collatz 类迭代可以编码 Turing machine，从而使广义版本不可判定。这个结果没有解决普通 Collatz，但解释了简单规则为何可能继承 cellular automata 的计算深度，也解释了为什么“对所有输入的 100%结论”在性质上远难于统计定理。
32. 认可让集体工作更容易，却可能扭曲价值排序
Perelman 拒绝了 Fields Medal 和百万美元的 Millennium Prize，认为正确性不需要额外认可。Tao 从未见过他，也避免诊断他的退出，只把他描述为一个幻灭后选择不再参与的离群者。
赢得 Fields Medal 让 Tao “成为体制的一部分”：人们突然开始征求他的意见，随口说的话也带上了新的分量。奖牌没有解决任何研究问题，但资历带来了指导、行政、科普和塑造领域方向的社会契约——此前他多年都在“战壕里”工作。
Tao 接受把名人作为第一近似：Steve Jobs 代表 Apple，或某个定理的最终解决者代表整个成果。但他强调，最后一步往往建立在数十年或数百年的隐性工作之上。人类用少数代表来理解故事，但这种缩写也可能抹掉整个团队。
Andrew Wiles 代表了与 Tao 相反的风格：多年秘密而集中的 Fermat’s Last Theorem 研究。Kevin Buzzard 的 5年资助项目，目标是把证明形式化追溯到 1980年已知的结果，揭开一个通常只归于单个人名的标题之下，那座由代数对象构成的深层高塔。
33. 数学需要不止一种母语式思维
Tao 认为，进化没有为数学配备专门中枢。人类会改造视觉、语言、符号推理、游戏或解谜系统，由此产生一群内部路径真正不同、却能得出相同结论的数学家。
大规模教育很难用 30种方式教会 30名学生，因此很多学习者在糟糕的课堂体验把他们赶走之前，都没能找到自己的“数学母语”。Tao 建议提供替代入口：YouTube、谜题、科普书、扑克概率、国际象棋、棒球统计，以及其他让数学服务于具体兴趣的社群。
形式化可能把公民科学扩展到数学。高中生或许已经能参与部分形式化项目，程序员也可以通过 Lean 找到入口，无需理解一整个研究计划；与此同时，内核让专业数学家不必手动验证每一份公开提交。
他的职业建议强调可迁移能力，而不是某一种语言或狭窄技术：抽象推理、适应性，以及在计划失败后重新站起来。Tao 在意识到自己不能只凭 Fields Medal 的权威预测 AI 与形式化证明的融合后学习 Lean，以此践行了这一转变；他必须“走过这条路”。
34. 集体智慧让不可能的任务不断变成作业题
Hilbert 的 23个问题展示了公开宣布目标的力量：没有目标，旁观者就会陷入瘫痪。Tao 给本科生的建议是“什么都试试”，最好从一个明显有问题的方案开始，因为它失败的具体方式会揭示哪个尚未使用的假设真正重要。
心理学也是这套机器的一部分。战略性作弊让问题显得可行；“结构化拖延”则通过在不想做的任务后面放置一个更糟的任务，促使前一个任务完成。马拉松选手和数学家都需要维持动力的技巧，而不只是技术准备。
孤立且不借助外物的人类本来就是虚构的：语言、笔和纸、黑板、软件与制度，都是认知技术。数学共同体是一个超越任何单个成员的“超级智能实体”，MathOverflow 能迅速从拥有互补知识的专家那里拼装出答案，就是这种能力的体现。
Tao 最后的希望来自难度的历史性压缩。过去，导航需要付出生命和财富；如今，口袋里的设备就能自动完成。健康的基础设施能让年轻一代把今天不可能的研究变成明天的作业，尽管人们总会在每次进步——从支持语音的 AI 到机器人——一到来后迅速把它视为理所当然。